రూలెట్ గణితం · గణిత సమస్య · 10 నిమిషాలు

సమస్య: పందెం పట్టిక పరిమితి

$500 గరిష్ఠ పరిమితి గల పందెం పట్టికలో $10 మార్టింగేల్. అది ఎంత తరచుగా విరుగుతుంది, విరిగినప్పుడు ఎంత కోల్పోతుంది, పరిమితిని పెంచడం సహాయపడుతుందా?

సంక్షిప్త సమాధానం

వరుసగా ఆరు ఓటములు దానిని విరుస్తాయి: పందెం చక్రానికి 1.8%, 100-స్పిన్ల సెషన్లలో సుమారు 60%. విరుగుడుకు $630 ఖర్చు. పరిమితిని $5,000కి పెంచితే విరుగు అరుదు (పందెం చక్రానికి 0.25%) మరియు పెద్దది ($5,110). ఏ పరిమితిలోనైనా వేసిన ప్రతి డాలరుకు ఆశించిన నష్టం 2.70%.

ప్రాథమిక మొత్తం / పరిమితి

$10 / $500

విరగడానికి ఓటములు

పందెం చక్రానికి p(విరుగు)

1.8%

విరిగినప్పుడు నష్టం

$630

సమస్య

ఆటగాడు ఎరుపుపందెంఎరుపు18 ఎరుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: రూజ్.పూర్తిగా చదవండి →పై $10 పందెం వేసి, ప్రతి ఓటమి తర్వాత రెట్టింపు చేసి, గెలుపు తర్వాత తిరిగి మొదలుపెడతాడు. పందెం పట్టిక గరిష్ఠం $500. (a) ఎన్ని వరుస ఓటములు పెరుగుదల క్రమాన్నివ్యూహంపెరుగుదల క్రమంగత ఫలితాల ఆధారంగా పందెం మొత్తాన్ని మార్చే ఏ నియమమైనా. ప్రతికూల పెరుగుదల క్రమాలు ఓటముల తర్వాత పెంచుతాయి, సానుకూలవి గెలుపుల తర్వాత.పూర్తిగా చదవండి → విరుస్తాయి? (b) పందెం చక్రానికి సంభావ్యతగణితంసంభావ్యతఫలితం వచ్చే అవకాశం, 0 నుంచి 1 లేదా 0% నుంచి 100% వరకు. ఒక సంఖ్య: 1/37 = 2.70%.పూర్తిగా చదవండి → ఎంత? (c) విరుగుడులో ఎంత కోల్పోతారు? (d) $5,000 పరిమితి జవాబులను ఎలా మారుస్తుంది? (e) ఏ పరిమితి వ్యవస్థను లాభదాయకం చేస్తుందా?

రూలెట్ పందెం పట్టిక పరిమితులు

పరిష్కారాలు (a)–(c)

పందెం మొత్తాలు: 10, 20, 40, 80, 160, 320. ఏడవది 640 > 500 అవుతుంది; కాబట్టి ఆరు ఓటములు దానిని విరుస్తాయి. (b) ఎరుపుపై p(ఓటమి) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, పందెం చక్రానికి సుమారు 1.8%. ఒక పందెం చక్రం సగటున రెండు స్పిన్లు సాగుతుంది; కాబట్టి 100-స్పిన్ల సెషన్లో దాదాపు 50 పందెం చక్రాలు, p(కనీసం ఒక విరుగు) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630; పందెం చక్రం గెలవాలని ప్రయత్నించిన $10కి వ్యతిరేకంగా ఇది 63 ప్రాథమిక యూనిట్లుడబ్బుయూనిట్విధానం లేదా ఆటగాడు ఉపయోగించే ప్రాథమిక పందెం మొత్తం. పెరుగుదల క్రమాలను యూనిట్లలో వివరిస్తారు కాబట్టి ఏ పట్టికకైనా వర్తిస్తాయి.పూర్తిగా చదవండి →.

పరిమితివిరగడానికి ఓటములుపందెం చక్రానికి p(విరుగు)విరిగినప్పుడు నష్టం100 స్పిన్లలో p(విరుగు)తిరిగి పొందడానికి కావలసిన గెలుపులు

$100313.5%$70≈ 100%7

$50061.8%$630≈ 60%63

$1,00061.8%$630≈ 60%63

$2,00070.94%$1,270≈ 36%127

$5,00090.25%$5,110≈ 11%511

$20,000110.07%$20,470≈ 3%2,047

గరిష్ఠ పరిమితిని ప్రతి రెట్టింపు చేయడం విరుగును సుమారు సగం అరుదుగా, రెండింతలు ఖరీదుగా చేస్తుంది. గుణఫలం మారదు.

పరిష్కారం (d)

$5,000 వద్ద: 2,560 వరకు పందెం మొత్తాలు అనుమతించబడతాయి; పదవ పందెం మొత్తం 5,120 తిరస్కరించబడుతుంది. తొమ్మిది ఓటములు దానిని విరుస్తాయి: (19/37)⁹ ≈ పందెం చక్రానికి 0.25%, 100-స్పిన్ల సెషన్లలో సుమారు 11%. విరుగుడులో నష్టం: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. ఆటగాడు పెద్దదైన విపత్తు ధరకు అరుదైన విపత్తును కొన్నాడు. చాలా సెషన్లలో విరుగుల ఆశించిన ఖర్చు $500 పరిమితిలో p × నష్టం ≈ 0.0183 × 630 = పందెం చక్రానికి $11.5; $5,000 వద్ద 0.0025 × 5,110 = $12.8; రౌండింగ్ పరిధిలో రెండూ ఒకే సంఖ్య. అది పందెం చక్రంలోని ఆశించిన నష్టంగణితంఆశించిన నష్టంఆశించిన విలువను పందెం వేసిన మొత్తం ద్వారా గుణించడం; సెషన్ లేదా కాలంలో సగటుగా పోయే మొత్తం.పూర్తిగా చదవండి → నుంచి గెలిచిన పందెం చక్రాలు సంపాదించే $10 తీసివేసినది.

పరిష్కారం (e)

కాదు. ప్రతి పందెం దాని విలువలో −1/37 కాబట్టి, ఏ పరిమితిలోనైనా పందెం చక్రానికి ఆశించిన నష్టం = (పందెం చక్రంలో ఆశించిన మొత్తం పందెం) / 37. పరిమితి అనేక చిన్న గెలుపులు, కొద్ది పెద్ద నష్టాల మధ్య నష్టం ఎలా పంపిణీ అవుతుందో మాత్రమే నిర్ణయిస్తుంది. పరిమితి లేక, అనంత పందెం మూలధనండబ్బుపందెం మూలధనంఆట కోసం కేటాయించిన మొత్తం. పందెం మూలధన నిర్వహణ అంటే ప్రతి పందెం, ప్రతి సెషన్కు ఎంత ప్రమాదంలో పెట్టాలో నిర్ణయించడం.పూర్తిగా చదవండి → ఉంటే పెరుగుదల క్రమం ‘పనిచేస్తుంది’—అంటే ఎప్పుడూ విరగదు—కానీ ఆ అనంత మొత్తంలో 2.70% ఆశించిన నష్టంతో పరిమితి లేని మొత్తాన్ని పందెం వేస్తుంది. పట్టిక పరిమితిపట్టికపట్టిక పరిమితిఅనుమతించే కనిష్ఠ, గరిష్ఠ పందెం. గరిష్ఠమే రెట్టింపు పెరుగుదల క్రమాలను ఆపుతుంది.పూర్తిగా చదవండి → మార్టింగేల్వ్యూహంమార్టింగేల్ప్రతి ఓటమి తర్వాత పందెం రెట్టింపు చేసే పెరుగుదల క్రమం. ఇది ఏం చేస్తుందో, చేయదో వ్యూహ విభాగంలో చూడండి.పూర్తిగా చదవండి →ను పనిచేయకుండా చేసేది కాదు. లెక్కలే చేస్తాయి.

$10 ప్రాథమిక మొత్తంలో మార్టింగేల్, 100 స్పిన్లు: పరిమితి ప్రకారం సగటు ఫలితం (అనుకరణ)$

$500 పరిమితి

≈ −$75

$1,000 పరిమితి

≈ −$75

$2,000 పరిమితి

≈ −$72

$5,000 పరిమితి

≈ −$70

స్థిరంగా $10, ఏ పరిమితైనా

$27

04080

బార్లు నష్టం పరిమాణాన్ని చూపుతాయి. పరిమితిని పెంచడం సగటులో దాదాపు మార్పే ఉండదు; గరిష్ఠ పరిమితి ఏదైనా పెరుగుదల క్రమం 100 స్పిన్లకు సుమారు $2,800 పందెం వేస్తుంది.

రెండు నిజమైన పందెం పట్టికలు

థార్ప్ ఉదాహరణ $1 పందెం పట్టిక, గరిష్ఠం $1,000; అక్కడ ఆటగాడు డాలరు చొప్పున రాత్రి భోజనానికి $30 గెలవాలని ఆశిస్తాడు. పందెం మొత్తాలు 1, 2, 4 … 512 పది పందేలను అనుమతిస్తాయి; కాబట్టి వరుసగా పది ఓటములు పెరుగుదల క్రమాన్ని విరుస్తాయి: యూరోపియన్ చక్రంలో 785 పందెం చక్రాలకు ఒకసారి (అమెరికన్లో 613కు ఒకసారి), $1,023 ఖర్చుతో. ముప్పై పందెం చక్రాలు 96.2%సార్లు విజయవంతమవుతాయి. మిగతా 3.8% సుమారు $1,000 కోల్పోతాయి; సాయంత్రపు సగటు ఫలితం −$9.17, ఇది ముప్పై పందెం చక్రాలు సగటున వేసే $339లో కచ్చితంగా 1/37. $2,000 గరిష్ఠంతో $5 పందెం పట్టిక వేరేం కాదు: $1,280 వరకు పందెం మొత్తాలు తొమ్మిది పందేలను అనుమతిస్తాయి; యూరోపియన్ చక్రంలో విరుగు 403 పందెం చక్రాలకు ఒకసారి (అమెరికన్లో 323కు ఒకసారి), ఖర్చు $2,555.

రెట్టింపు చేసిన పందెం మొత్తాలు పందెం పట్టిక గరిష్ఠం వైపు పెరుగుతుండగా, పక్క గదిలో రాత్రి భోజనం ఎదురుచూస్తోంది.

ధనిక ఆటగాడు

తక్కువ పరిమితికి బదులు పెరుగుదల క్రమానికి లోతైన పందెం మూలధనం ఇవ్వండి: 1,000 యూనిట్లు, ఒక-యూనిట్ ప్రాథమిక మొత్తం, ఎరుపుపై 1,000 స్పిన్లు; తర్వాతి రెట్టింపు మిగిలినదానికన్నా ఎక్కువైనప్పుడల్లా మళ్లీ ఒక యూనిట్ నుంచి మొదలు. అలాంటి ఒక మిలియన్ సాయంత్రాలను అనుకరించాం. యూరోపియన్ చక్రంలో 52% ముందుండి ముగుస్తాయి; 21% అన్నీ కోల్పోతాయి; సగటు ఫలితం −124 యూనిట్లు. సున్నాచక్రంసున్నాఏ సమాన-డబ్బు, డజను, కాలమ్ పందెం కప్పని ఒక్క పచ్చ ఖానం; క్యాసినో ఆధిక్యానికి మూలం. సింగిల్ సున్నా, 0 అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → లేని ప్రతి పందెం న్యాయమైన ఆటలో కూడా, కేవలం సుమారు 60% మాత్రమే ముందుండి ముగుస్తాయి. సాధారణ సాయంత్రం చిన్న గెలుపు; సగటు మాత్రం సున్నా వద్ద ముగిసే సాయంత్రాల వల్ల చెల్లించబడుతుంది.

చక్రంముందుండి ముగింపు1,000 యూనిట్లు కోల్పోవడంసగటు ఫలితం

సున్నా లేదు (న్యాయమైన ఆట)60%15%0

యూరోపియన్52%21%−124 యూనిట్లు

అమెరికన్45%30%−250 యూనిట్లు

మా అనుకరణ, ప్రతి చక్రానికి ఒక మిలియన్ సాయంత్రాలు. సగటులు 1,000 స్పిన్లలో పెరుగుదల క్రమం వేసే దానిలో యూరోపియన్ చక్రానికి 1/37, అమెరికన్కు 1/19: యూరోపియన్లో సుమారు 4,600 యూనిట్లు, అమెరికన్లో 4,750.

పాఠం

క్యాసినోలు వ్యవస్థలను ఓడించడానికి కాదు, తమ వ్యత్యాసాన్నిగణితంవ్యత్యాసంఆశించిన విలువ చుట్టూ ఫలితాలు ఎంత విస్తృతంగా వ్యాపిస్తాయో కొలమానం. సూటి పందానికి ఎక్కువ, సమాన-డబ్బు పందాలకు తక్కువ.పూర్తిగా చదవండి → పరిమితం చేయడానికి గరిష్ఠాలను నిర్ణయిస్తాయి. మార్టింగేల్ను ఓడించడం వారికి సంతోషకరమైన దుష్ప్రభావం; లెక్కలు ఎలాగైనా ఓడిస్తాయి. పరిమితి సమస్య అని భావించే ఆటగాడు అంచును కనుగొని దానినే వాలుగా తప్పుగా భావించాడు.

సూత్రం

p(విరుగు) = (19/37)ᵏ, k = పరిమితి అనుమతించే ఓటములు

విరుగుడులో నష్టం = ప్రాథమిక మొత్తం · (2ᵏ − 1)

E[loss per cycle] = E[stake in cycle] / 37

ప్రశ్నలు

పెద్ద పందెం మూలధనం దాన్ని సరిచేస్తుందా?

ఎక్కువ పరిమితి వరకు బతకనిస్తుంది; అక్కడ విరుగు అరుదుగా, పెద్దగా ఉంటుంది. ప్రతి డాలరుకు ఆశించిన నష్టం మారదు.

ప్రతి రెట్టింపుకు ఒక యూనిట్ జోడించే ‘గ్రాండ్ మార్టింగేల్’ సంగతి?

పందెం మొత్తాలు 10, 30, 70, 150, 310: $500 పరిమితి ఐదు ఓటముల తర్వాత చేరుతుంది; విరుగుడుకు $570 ఖర్చు. అదే 2.70%.

క్యాసినోలకు గరిష్ఠం ఎందుకు ఉంటుంది?

ఒక ఆటగాడు క్యాసినో నిల్వ సౌకర్యంగా చెల్లించగల దానికన్నా ఎక్కువ పందెం వేయకుండా ఉండటానికి. వ్యత్యాస నిర్వహణ.

గణితంతో సరదా

ముందుగా వీటిని మీరే ప్రయత్నించండి. ప్రతి పరిష్కారం మడిచి ఉంచబడింది; మీరు సిద్ధమైనప్పుడు తెరవండి.

ఒక మార్టింగేల్వ్యూహంమార్టింగేల్ప్రతి ఓటమి తర్వాత పందెం రెట్టింపు చేసే పెరుగుదల క్రమం. ఇది ఏం చేస్తుందో, చేయదో వ్యూహ విభాగంలో చూడండి.పూర్తిగా చదవండి → ఎరుపుపందెంఎరుపు18 ఎరుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: రూజ్.పూర్తిగా చదవండి →పై $100తో మొదలై ఒక్కో పందెం చక్రంలో గరిష్ఠంగా n పందేలను మాత్రమే అనుమతిస్తుంది: వరుసగా n ఓటముల తర్వాత అది వదిలేసి మళ్లీ మొదలుపెడుతుంది. ఒక పందెం చక్రం సగటు ఫలితాన్ని nలో సూత్రంగా రాసి, యూరోపియన్ చక్రంపై 5, 6, 7 పందేలకు లెక్కించండి.
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం సగటు 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 పందేలకు −$14.26, 6కు −$17.35, 7కు −$20.52. ఎక్కువ పందేలను అనుమతించడం సగటు పందెం చక్రాన్ని మెరుగుపరచదు, మరింత దిగజారుస్తుంది.
n పందేలన్నీ ఓడితే తప్ప పందెం చక్రం $100 గెలుస్తుంది; అవన్నీ ఓడటం qⁿ అవకాశంతో జరుగుతుంది, ఇక్కడ q = 19/37. అన్నీ ఓడినప్పుడు, పందెం మొత్తాలు 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ కలిపి 100 × (2ⁿ − 1) అవుతాయి. కాబట్టి సగటు 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
ఇక్కడ 2q = 38/37, 1 కంటే కొంచెం ఎక్కువ, కాబట్టి (2q)ⁿ nతో పెరుగుతుంది, సగటు తగ్గుతుంది: n = 5 ఇస్తుంది 1.1426, −$14.26; n = 6 ఇస్తుంది 1.1735, −$17.35; n = 7 ఇస్తుంది 1.2052, −$20.52. పొడవైన నిచ్చెన తక్కువ తరచుగా ఓడుతుంది, 3.6%, 1.8%, 0.9% పందెం చక్రాలలో, కానీ ప్రతి నష్టం రెట్టింపు పెద్దది, ప్రతి పందెం చక్రంలో ఎక్కువ డబ్బు పందెం పట్టిక దాటుతుంది, ప్రతి పందెంపై 2.70% చొప్పున.
అమెరికన్ చక్రంపై 2q = 40/38, అంకెలు −$29.24, −$36.04, −$43.20 (Taylor, 2021). సున్నాచక్రంసున్నాఏ సమాన-డబ్బు, డజను, కాలమ్ పందెం కప్పని ఒక్క పచ్చ ఖానం; క్యాసినో ఆధిక్యానికి మూలం. సింగిల్ సున్నా, 0 అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → లేని ఆటలో 2q = 1, నిచ్చెన ఎంత పొడవైనా ప్రతి పందెం చక్రం సగటు సరిగ్గా సున్నా.
“గ్రాండ్ మార్టింగేల్” ఓటమి తర్వాత పందెం మొత్తాన్ని రెట్టింపు చేసి ఒక యూనిట్డబ్బుయూనిట్విధానం లేదా ఆటగాడు ఉపయోగించే ప్రాథమిక పందెం మొత్తం. పెరుగుదల క్రమాలను యూనిట్లలో వివరిస్తారు కాబట్టి ఏ పట్టికకైనా వర్తిస్తాయి.పూర్తిగా చదవండి → జోడిస్తుంది, కాబట్టి పందెం మొత్తాలు 1, 3, 7, 15, 31 … గా సాగుతాయి. మొదటి గెలుపు 1వ, 2వ, 3వ లేదా kవ పందెంపై వస్తే మీరు ఎంత లాభంలో ఉంటారు? $10 యూనిట్, $500 గరిష్ఠం వద్ద, పందెం చక్రం ఎంత తరచుగా విరుగుతుంది, ఒక పందెం చక్రం సగటు ఖర్చు ఎంత?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం kవ పందెంపై గెలుపు మిమ్మల్ని k యూనిట్ల లాభంలో ఉంచుతుంది: +1, +2, +3 అలా. $10, $500 వద్ద పందెం చక్రం ఐదు ఓటముల తర్వాత విరుగుతుంది, 3.57% పందెం చక్రాలలో, −$570కు. సగటున ఒక పందెం చక్రం పందెం వేసిన $85.73లో $2.32 కోల్పోతుంది: 2.70%.
kవ పందెం మొత్తం 2ᵏ − 1 యూనిట్లు: 1, 3, 7, 15, 31. మొదటి k − 1 పందెం మొత్తాలు కలిపి 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. kవ పందెంపై గెలుపు 2ᵏ − 1 చెల్లిస్తుంది, కాబట్టి పందెం చక్రం (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k యూనిట్ల లాభంతో ముగుస్తుంది: గెలుపుకు ముందు ప్రతి ఓటమికి ఒక అదనపు యూనిట్.
యూనిట్కు $10 వద్ద పందెం మొత్తాలు $10, $30, $70, $150, $310; తదుపరిది, $630, $500 గరిష్ఠాన్ని మించుతుంది. వరుసగా ఐదు ఓటములు, (19/37)⁵ = 3.57%, ఖర్చు 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
సగటు: k = 1 నుంచి 5 వరకు (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 అవకాశంతో గెలుపులు $10 × k తెస్తాయి, 3.57% అవకాశంతో విరుగుడు $570 తీసుకుంటుంది; మొత్తం −$2.32. పందెం వేసిన డబ్బు ఒక్కో పందెం చక్రానికి సగటున $85.73, 2.32/85.73 = 2.70%. అదే పందెం పట్టిక వద్ద సాధారణ మార్టింగేల్ ఆరు ఓటముల తర్వాత విరుగుతుంది, 1.83% పందెం చక్రాలలో, −$630కు, పందెం వేసిన $64.20లో $1.74 కోల్పోతుంది: మళ్లీ 2.70%.
ఒక ఆటగాడు పరిమితి $1,000 ఉన్న పందెం పట్టిక వద్ద $1 మొదటి పందెంతో ఎరుపుపై మార్టింగేల్ ప్లాన్ చేస్తాడు, కాబట్టి పది పందేలు సాధ్యం: $1, $2, $4 అలా $512 వరకు. ఒక పందెం చక్రం పదీ ఎంత తరచుగా ఓడుతుంది, దానికి సగటున ఎంత సమయం పడుతుంది, 200 పందేల సాయంత్రం ఎంత తరచుగా అలా ముగుస్తుంది?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం ఒక పందెం చక్రం 784లో సుమారు ఒకసారి పదీ ఓడుతుంది, దాని ఖర్చు $1,023. అది సగటున సుమారు 1,600 పందేలు, 200 పందేల సాయంత్రం సుమారు 11% సార్లు పరిమితి గోడను తాకుతుంది. అయినా ఒక పందెం చక్రం పందెం వేసిన $11.31లో సగటున $0.31 కోల్పోతుంది: 2.70%.
ఎరుపుపై పందెం సున్నాతో కలిపి 19/37 అవకాశంతో ఓడుతుంది. వరుసగా పది: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, సుమారు 784లో 1. పందెం మొత్తాలు 1 + 2 + 4 + … + 512 కలిపి $1,023.
ఒక పందెం చక్రానికి సగటున 2.05 పందేలు పడతాయి, కాబట్టి 784 పందెం చక్రాలకు సుమారు 1,600 పందేలు. స్పిన్ వారీగా లెక్కిస్తే, పది ఓటముల వరుస 200 పందేలలో ఎక్కడో ఒకచోట 11.3% సార్లు వస్తుంది.
విపత్తుల మధ్య ఆటగాడు ఒక్కో పందెం చక్రానికి $1 గెలుస్తాడు: చెడ్డదానికి ముందు సుమారు $783, తర్వాత −$1,023, మొత్తం కాలంలో సుమారు −$240. ఒక్కో పందెం చక్రానికి: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. ఒక్కో పందెం చక్రానికి పందెం వేసిన డబ్బు: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. ఇక −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 పరిమితి వద్ద $10 మొదటి పందెంతో, ఆరు పందేలతో పోల్చండి: గోడ 55 పందెం చక్రాలలో ఒకసారి వస్తుంది, 200 పందేల సాయంత్రం 84% సార్లు దాన్ని తాకుతుంది. ఎక్కువ పరిమితి పతనాన్ని అరుదుగా, పెద్దదిగా చేస్తుంది, చౌకగా కాదు.

హాస్య విరామం

ప్రతి పరిమితిలో అరుదుగా, పెద్దగా. గుణఫలం స్థిరం.

మూలాలు

Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. అధ్యాయం 13, రూలెట్.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2వ సంచిక. Academic Press, 2013.

2026-09-28న సమీక్షించబడిందిమోడల్: యూరోపియన్, ఒకే సున్నాపద్ధతి ↗మూలాలు ↗