సమస్య: పుట్టినరోజు చక్రం
ఏదో ఒక సంఖ్య పునరావృతం కావడానికి ఎన్ని స్పిన్లు? చాలామంది ఊహించేదానికన్నా చాలా తక్కువ.
37-ఖానాలపరికరాలుఖానంరోటర్పై 37 సంఖ్యల గదుల్లో ఒకటి. స్లాట్, కప్ అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → చక్రంపై పుట్టినరోజు సమస్య: కేవలం 8 స్పిన్ల తర్వాతే ఏదో సంఖ్య ఇప్పటికే రెండుసార్లు కనిపించి ఉండే అవకాశం సగంకన్నా ఎక్కువ. ఆటగాళ్లు పునరావృతాలను నమూనాలుగా చదువుతారు; న్యాయమైన చక్రంలో అవే ఆశించిన ప్రవర్తన.
సమస్య
న్యాయమైన యూరోపియన్ చక్రాన్ని తిప్పండి. కనీసం రెండు స్పిన్లు ఒకే సంఖ్యను చూపిన సంభావ్యతగణితంసంభావ్యతఫలితం వచ్చే అవకాశం, 0 నుంచి 1 లేదా 0% నుంచి 100% వరకు. ఒక సంఖ్య: 1/37 = 2.70%.పూర్తిగా చదవండి → సగాన్ని మించడానికి ఎన్ని స్పిన్లు కావాలి? చాలామంది 37లో సగమైన 18 లేదా 19 చుట్టూ ఊహిస్తారు. జవాబు 8.
పరిష్కారం
పునరావృతం లేకపోయే సంభావ్యతను లెక్కించి ఒకటి నుంచి తీసివేయండి. k స్పిన్ల తర్వాత p(అన్నీ వేరు) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8కు: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44; కాబట్టి p(ఏదో పునరావృతం) ≈ 0.56. k = 14కు అది 0.93; k = 20కు 0.996. స్పిన్ల జతల సంఖ్య k²గా పెరుగుతుంది, ఏ జతైనా సరిపోలవచ్చు కాబట్టి అంతర్దృష్టి విఫలమవుతుంది.
పందెం పట్టిక వద్ద ఇది ఎందుకు ముఖ్యం
గత 20 సంఖ్యల ఫలితాల బోర్డు దాదాపు ఎప్పుడూ కనీసం ఒక పునరావృతాన్ని, తరచూ రెండు లేదా మూడింటిని చూపుతుంది. ఆటగాళ్లు ‘17 పది స్పిన్లలో రెండుసార్లు వచ్చింది’ అని చూసి 17 వేడిగా ఉందని తేలుస్తారు; పుట్టినరోజు లెక్క పది స్పిన్లలో పునరావృతం 74%సార్లు జరుగుతుందని, పునరావృత సంఖ్య యాదృచ్ఛికమని చెబుతుంది. నమూనా నిజం; అర్థం కాదు.
తదుపరి సమస్య
17 వంటి నిర్దిష్ట సంఖ్య రెండుసార్లు కనిపించడానికి ఎన్ని స్పిన్లు? అది చాలా పెద్ద సమాధానం గల వేరే ప్రశ్న: ఆశించిన నిరీక్షణ 74 స్పిన్లు; 20 స్పిన్లలో రెండు 17లు వచ్చే సంభావ్యత సుమారు 10%. ‘ఏదో సంఖ్య పునరావృతమవుతుంది’ (8 స్పిన్లు), ‘ఈ సంఖ్య పునరావృతమవుతుంది’ (74 స్పిన్లు) మధ్య తేడా అనేది తర్వాత మీరు గమనించే నమూనాకు, ముందే చేసే అంచనాకు మధ్య ఉన్న మొత్తం తేడా.
ప్రయత్నించండి
డెమో గేమ్ను పది స్పిన్లకు నడిపి చరిత్రను చూడండి. సాధారణంగా పునరావృతం ఉంటుంది. మళ్లీ నడపండి. పునరావృత సంఖ్య వేరుగా ఉంటుంది. ఇలా పది సార్లు చేస్తే పుట్టినరోజు సమస్యనుగణితంపుట్టినరోజు సమస్యఇద్దరు బహుశా ఒకే పుట్టినరోజును పంచుకునే వరకు ఎంతమంది కావాలి, లేదా ఒక సంఖ్య బహుశా పునరావృతం అయ్యే వరకు ఎన్ని స్పిన్లు కావాలి అనే సమస్య. 37-ఖానాల చక్రంలో సమ-సంభావ్యత కంటే మెరుగైన అవకాశానికి 8 స్పిన్లు చాలు.పూర్తిగా చదవండి → చూశారు; వెయ్యిసార్లు చేస్తే (సిమ్యులేటర్లు చేయగలవు) దాన్ని కొలిచారు.
సూత్రం
ప్రశ్నలు
కచ్చితంగా, 365 రోజుల బదులు 37 ఖానాలతో. పుట్టినరోజులకు 23 మంది 50% ఇస్తారు; చక్రానికి 8 స్పిన్లు 56% ఇస్తాయి.
సుమారు 19 స్పిన్ల తర్వాత 50%. ఇంకా సాధారణమే.
కాదు. ఒకే చక్రం నుంచి వేలాది స్పిన్లు చేస్తే సూచిస్తాయి; ఒక పునరావృతం ఎప్పుడూ సూచించదు.
గణితంతో సరదా
ముందుగా వీటిని మీరే ప్రయత్నించండి. ప్రతి పరిష్కారం మడిచి ఉంచబడింది; మీరు సిద్ధమైనప్పుడు తెరవండి.
అమెరికన్ చక్రం పక్కన ఉన్న ఫలితాల బోర్డు చివరి 16 స్పిన్లను చూపుతుంది. దానిపై ఏ సంఖ్యా రెండుసార్లు కనిపించకపోయే అవకాశం ఎంత?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం సుమారు 2.5%: దాదాపు 40లో 39 బోర్డులు కనీసం ఒక పునరావృతాన్ని చూపుతాయి.
స్పిన్ వారీగా వెళ్లండి. మొదటి స్పిన్ ఏదైనా కావచ్చు. రెండోది దాన్ని తప్పాలి: 38లో 37 అవకాశాలు. మూడోది రెండింటినీ తప్పాలి: 38లో 36. పదహారవది పదిహేను సంఖ్యలను తప్పాలి: 38లో 23.
గుణించండి: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
పునరావృతం లేని బోర్డే అరుదైనది. పునరావృతం ఉన్న బోర్డు చక్రం గురించి ఏమీ చెప్పదు.
యూరోపియన్ చక్రం యొక్క పది స్పిన్లలో, 17 సరిగ్గా ఐదుసార్లు వచ్చే అవకాశం ఎంత? ఏదో ఒక సంఖ్య, ఏ సంఖ్యైనా, ఐదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువసార్లు వచ్చే అవకాశం? ఇంకా నాలుగు స్పిన్లలో ఏదో ఒక సంఖ్య కనీసం మూడుసార్లు వచ్చే అవకాశం?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం 17 సరిగ్గా ఐదుసార్లు: 3,15,576లో 1. ఏదో ఒక సంఖ్య ఐదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువసార్లు: సుమారు 8,333లో 1. నాలుగు స్పిన్లలో ఏదో ఒక సంఖ్య మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువసార్లు: 349లో 1.
17 ఐదుసార్లు: పది స్పిన్లలో ఏ ఐదో ఎంచుకోండి, 252 విధాలు, ప్రతిదానికి అవకాశం (1/37)⁵ × (36/37)⁵. మొత్తం, 3,15,576లో 1.
ఏదో ఒక సంఖ్య: 37 సంఖ్యలలో ప్రతిదానికీ ఐదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ హిట్లకు 3,08,325లో 1 అవకాశం ఉంది, ఇది 3,08,325లో 37, లేదా 8,333లో 1 ఇస్తుంది. ఒక్కొక్కటి ఐదు హిట్లతో రెండు సంఖ్యల అరుదైన సందర్భం రెండుసార్లు లెక్కించబడుతుంది, కానీ దాన్ని తీసేసినా ఈ ఖచ్చితత్వంలో ఏమీ మారదు.
నాలుగు స్పిన్లలో మూడుసార్లు: ఒక సంఖ్యకు, సాధ్యమైన 37⁴ ఫలితాలలో 4 × 36 + 1 = 145; 37 సంఖ్యలలో ఏదైనా ఒకదానికి, 145/37³ = 349లో 1.
డబుల్-సున్నాచక్రంసున్నాఏ సమాన-డబ్బు, డజను, కాలమ్ పందెం కప్పని ఒక్క పచ్చ ఖానం; క్యాసినో ఆధిక్యానికి మూలం. సింగిల్ సున్నా, 0 అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → చక్రానికి సంబంధిత అంకెలు 3,59,275లో 1, 9,243లో 1, 368లో 1. “17”కూ “ఏదో ఒక సంఖ్య”కూ మధ్య అంతరం మళ్లీ పుట్టినరోజు సమస్యగణితంపుట్టినరోజు సమస్యఇద్దరు బహుశా ఒకే పుట్టినరోజును పంచుకునే వరకు ఎంతమంది కావాలి, లేదా ఒక సంఖ్య బహుశా పునరావృతం అయ్యే వరకు ఎన్ని స్పిన్లు కావాలి అనే సమస్య. 37-ఖానాల చక్రంలో సమ-సంభావ్యత కంటే మెరుగైన అవకాశానికి 8 స్పిన్లు చాలు.పూర్తిగా చదవండి →: ఆశ్చర్యపోవడానికి 37 విధాలు ఉన్నాయి.
హాస్య విరామం
ఏదో ఒకటి తొందరగానే పునరావృతమవుతుంది. ఆ ఏదో ఒకటి యాదృచ్ఛికమే.
మూలాలు
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, సంపుటి 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, రూలెట్ ప్రశ్నలు.