దీర్ఘకాల అభిసరణ: రూలెట్లో పెద్ద సంఖ్యల నియమం
సగటు ఎలా −2.70% వైపు స్థిరపడుతుందో, అది అంతర్దృష్టి సూచించేదానికన్నా ఎందుకు ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుందో.
స్పిన్లు పేరుకుపోతే స్పిన్కు సగటు నష్టం −1/37 వైపు చేరుతుంది; వ్యాప్తి 1/√Nలా తగ్గుతుంది. ఎరుపుపై 1,000 స్పిన్ల తర్వాత సగటు సాధారణంగా తన ఆశించిన విలువకు ±3%లోపే ఉంటుంది.
పెద్ద సంఖ్యల నియమం
స్వతంత్ర పందేల నడిచే సగటు ఆశించిన విలువకుగణితంఆశించిన విలువదీర్ఘకాలంలో ప్రతి పందానికి సగటు ఫలితం. ప్రతి ప్రామాణిక యూరోపియన్ పందానికి పందెం మొత్తంలో −1/37.పూర్తిగా చదవండి → చేరుతుంది. ఒక్క యూనిట్డబ్బుయూనిట్విధానం లేదా ఆటగాడు ఉపయోగించే ప్రాథమిక పందెం మొత్తం. పెరుగుదల క్రమాలను యూనిట్లలో వివరిస్తారు కాబట్టి ఏ పట్టికకైనా వర్తిస్తాయి.పూర్తిగా చదవండి →తో N సమాన-డబ్బు స్పిన్ల తర్వాత, స్పిన్కు సగటు ఫలితానికి ఆశించిన విలువ −1/37, ప్రామాణిక విచలనంగణితంప్రామాణిక విచలనంవ్యత్యాసం వర్గమూలం; ఆశించిన విలువ నుంచి ఫలితం ఉండే సాధారణ దూరం.పూర్తిగా చదవండి → 1/√N. N = 100 వద్ద వ్యాప్తి పందెం మొత్తంలో 10%, 2.7% సంకేతానికి దాదాపు నాలుగింతలు. N = 1,000 వద్ద అది 3.2%, సంకేతానికి దాదాపు సమానం. N = 10,000 వద్ద 1%; ఆధిక్యం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. సెషన్లో ఆధిక్యం కనిపించదు; సంవత్సరంలో అనివార్యంగా కనిపిస్తుంది.
ఏది చేరుతుంది, ఏది చేరదు
స్పిన్కు సగటు చేరుతుంది. మొత్తం చేరదు: N పెరిగే కొద్దీ ఆశించిన విలువలో Nలో సుమారు 2.7% చొప్పున, దాని చుట్టూ √N వ్యాప్తితో, అది సున్నా నుంచి మరింత దూరంగా కదులుతుంది. $10తో 10,000 స్పిన్లు ఆడిన ఆటగాడు సుమారు $2,700 వెనుకబడి ఉండాలని, $1,000 అటూ ఇటూగా ఉంటుందని ఆశించవచ్చు. ఎరుపులపందెంఎరుపు18 ఎరుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: రూజ్.పూర్తిగా చదవండి → నడిచే నిష్పత్తి చాలాకాలం క్రితమే 48.65% వద్ద స్థిరపడింది; నడిచే నిల్వ మాత్రం ఎక్కడా స్థిరపడలేదు.
- p10 −$440
- p25 −$280
- మధ్యస్థం −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
అంతర్దృష్టి ఎందుకు విఫలమవుతుంది
2.70% పెద్దదిగా వినిపిస్తుంది కాబట్టి ఆధిక్యం త్వరగా కనిపిస్తుందని, సగటులు చేరతాయని పెద్ద సంఖ్యల నియమంగణితంపెద్ద సంఖ్యల నియమంప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ స్వతంత్ర ఫలితాల సగటు ఆశించిన విలువకు సమీపిస్తుంది.పూర్తిగా చదవండి → చెబుతుంది కాబట్టి దీర్ఘ వరుసలు ‘సమం అవుతాయని’ ప్రజలు ఆశిస్తారు. రెండు అంతర్దృష్టులూ పరిమాణాన్ని తప్పుగా అంచనా వేస్తాయి: ఒక్క స్పిన్ వ్యత్యాసంతోగణితంవ్యత్యాసంఆశించిన విలువ చుట్టూ ఫలితాలు ఎంత విస్తృతంగా వ్యాపిస్తాయో కొలమానం. సూటి పందానికి ఎక్కువ, సమాన-డబ్బు పందాలకు తక్కువ.పూర్తిగా చదవండి → పోల్చితే ఆధిక్యం చిన్నది (σ = 1 యూనిట్, ఆశించిన విలువ = 0.027), అందుకే ఒక-సిగ్మా కనిపించడానికి (1/0.027)² ≈ 1,400 స్పిన్లు అవసరం. సగటు చేరడం మొత్తాన్ని వెనక్కి లాగదు; గత ఊగిసలాటలను మాత్రమే పలుచబరుస్తుంది.
ఇతర పందేలలో చేరిక
సూటి పందేలపందెంసూటి పందెంఒక్క సంఖ్య, 35:1 చెల్లింపు.పూర్తిగా చదవండి →కు σ = 5.84, కాబట్టి అదే లెక్కలో ఆధిక్యం ఒక సిగ్మాకు చేరడానికి (5.84/0.027)² ≈ 47,000 స్పిన్లు కావాలి. ఎరుపు ఆటగాడికి వారాల్లో కనిపించే అదే 2.70% చెల్లిస్తూనే, తన రికార్డుల్లో ఆధిక్యం అదృష్టం నుంచి వేరు కాదని తెలియకుండా సూటి పందెం ఆటగాడు సంవత్సరాల పాటు ఆడవచ్చు.
వ్యవస్థలను పరీక్షించడానికి సూచన
ఏ వ్యవస్థ పనిచేస్తుందని వాదించే వ్యక్తి, 10,000 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ స్పిన్లలో నమోదైన ధనాత్మక సగటుతో దాన్ని చూపగలగాలి. 1,000 స్పిన్లలో సమాన-డబ్బుపై ధనాత్మక సగటు శూన్య పరికల్పన కింద ఐదులో ఒకసారి జరుగుతుంది; 100 స్పిన్లలో దాదాపు నాణెం విసురులాంటిది. ఈ సైట్ సిమ్యులేటర్లు మీ ఎంచుకున్న పొడవులో 2,000 సెషన్లను ఒక సెకనులో నడుపుతాయి; అది ఏ సాక్ష్యవాక్యంకన్నా ఎక్కువ సాక్ష్యం.
సూత్రం
ప్రశ్నలు
మీరు ఆడుతున్న కొద్దీ మళ్లీ ముందుండే సంభావ్యతగణితంసంభావ్యతఫలితం వచ్చే అవకాశం, 0 నుంచి 1 లేదా 0% నుంచి 100% వరకు. ఒక సంఖ్య: 1/37 = 2.70%.పూర్తిగా చదవండి → సున్నా వైపే పడుతుంది. మొత్తం పరిమితి లేకుండా కిందకు కదులుతుంది.
కాదు. గత ఊగిసలాటలు పెద్ద నమూనాలో చిన్న భాగమవుతాయని మాత్రమే అర్థం.
సమాన-డబ్బుకు ఆధిక్యం స్పష్టంగా కనిపించడానికి సుమారు 10,000. సూటి పందేలకు సుమారు 50,000.
గణితంతో సరదా
ముందుగా వీటిని మీరే ప్రయత్నించండి. ప్రతి పరిష్కారం మడిచి ఉంచబడింది; మీరు సిద్ధమైనప్పుడు తెరవండి.
ఇద్దరు స్నేహితులు ఒక న్యాయమైన ఆటగణితంన్యాయమైన ఆటఏ పక్షానికీ ఆధిక్యం లేని ఆట: ప్రతి పందానికి ఆశించిన విలువ సున్నా.పూర్తిగా చదవండి → యొక్క 20 రౌండ్లు ఆడతారు, నాణెం ఎగరేత లేదా సున్నాలుచక్రంసున్నాఏ సమాన-డబ్బు, డజను, కాలమ్ పందెం కప్పని ఒక్క పచ్చ ఖానం; క్యాసినో ఆధిక్యానికి మూలం. సింగిల్ సున్నా, 0 అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → తిరిగి ఇచ్చే ఎరుపుపందెంఎరుపు18 ఎరుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: రూజ్.పూర్తిగా చదవండి → వర్సెస్ నలుపుపందెంనలుపు18 నలుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: న్వార్.పూర్తిగా చదవండి →, నడుస్తున్న స్కోరు ఉంచుకుంటారు. ప్రతి ఒక్కరూ ముందంజలో ఉన్న రౌండ్లను లెక్కించండి (సమానమైతే అంతకు ముందు ఆధిక్యంలో ఉన్నవారికి లెక్కించబడుతుంది). ఏది ఎక్కువ అవకాశం: ఆధిక్యం 10 రౌండ్లు 10గా పంచుకోవడమా, లేక ఒక స్నేహితుడు మొత్తం 20లోనూ ముందంజలో ఉండటమా?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం ఒక స్నేహితుడు మొత్తం 20 రౌండ్లలో ముందంజలో ఉండటం చాలా ఎక్కువ అవకాశం: ఏ స్నేహితుడినైనా లెక్కిస్తే 35.2%, 10కి 10 సమాన పంపకానికి 6.1%తో పోలిస్తే.
2k రౌండ్ల తర్వాత న్యాయమైన నడుస్తున్న స్కోరు సమంగా ఉండే అవకాశం u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 రౌండ్ల తర్వాత 0.246, 20 తర్వాత 0.176. ఒక శాస్త్రీయ ఫలితం, ఆర్క్-సైన్ నియమం, పేరు పెట్టిన ఒక స్నేహితుడు 2n రౌండ్లలో సరిగ్గా 2k రౌండ్లు ముందంజలో ఉండే అవకాశం u(2k) × u(2n − 2k) అని చెబుతుంది.
మొత్తం 20లో ముందంజ: u(20) × u(0) = ప్రతి స్నేహితుడికి 0.176, ఏ ఒక్కరికైనా 35.2%. సమాన పంపకం: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, అన్నిటికంటే తక్కువ అవకాశం ఉన్న పంపకం.
కాబట్టి న్యాయమైన ఆటలో ఆధిక్యం అరుదుగా చేతులు మారుతుంది. సాయంత్రమంతా ముందంజలో, లేదా వెనుకంజలో, ఉన్న ఆటగాడు అసాధారణమైనదేమీ చూడలేదు, అది చక్రం గురించి గానీ నైపుణ్యం గురించి గానీ ఏమీ చెప్పదు. Epstein (2013) దీర్ఘమైన ఆటలకు ఇదే నియమాన్ని ఇస్తారు: సగం సార్లు అదృష్టవంతమైన పక్షం ఆటలో 85% కంటే ఎక్కువ భాగం ముందంజలో ఉంటుంది.
హాస్య విరామం
సగటు చేరుతుంది. మొత్తం మాత్రం వెళ్లిపోతుంది.
మూలాలు
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, సంపుటి 1.