కెల్లీ ప్రమాణం మరియు రూలెట్
ఆధిక్యం ఉన్న పందెం వేసేవాడు ఎంత పందెం వేయాలో కెల్లీ ప్రమాణం చెబుతుంది. రూలెట్కు ఇది స్పష్టమైన సమాధానం ఇస్తుంది: ఏమీ వేయవద్దు.
కెల్లీ పందెం మొత్తం = ఆధిక్యం / అవకాశ నిష్పత్తి. ప్రతికూల ఆధిక్యంతో సూత్రం ప్రతికూల భిన్నాన్ని ఇస్తుంది; అంటే పందెం వేయవద్దు. పక్షపాత చక్రం ఆటగాళ్లు తమ పందెం మొత్తాలను ఎందుకు అలా నిర్ణయించారో, మిగతావారు ఎందుకు బడ్జెట్ ప్రకారం నిర్ణయించుకోవాలో అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ ప్రమాణం ఉపయోగపడుతుంది.
ప్రమాణం
తెలిసిన ఆధిక్యం ఉన్న జూదరి, దీర్ఘకాల పందెం మూలధనడబ్బుపందెం మూలధనంఆట కోసం కేటాయించిన మొత్తం. పందెం మూలధన నిర్వహణ అంటే ప్రతి పందెం, ప్రతి సెషన్కు ఎంత ప్రమాదంలో పెట్టాలో నిర్ణయించడం.పూర్తిగా చదవండి → వృద్ధిని గరిష్ఠం చేయడానికి పందెం మొత్తాలను ఎలా నిర్ణయించాలో జాన్ కెల్లీ (1956) అడిగాడు. 1కు b చెల్లించే పందెంలో గెలుపు సంభావ్యతగణితంసంభావ్యతఫలితం వచ్చే అవకాశం, 0 నుంచి 1 లేదా 0% నుంచి 100% వరకు. ఒక సంఖ్య: 1/37 = 2.70%.పూర్తిగా చదవండి → p, ఓటమి సంభావ్యత q = 1 − p అయితే, పందెం మూలధనంలో f* = (bp − q) / b భిన్నాన్ని పందెం వేయాలి. ధనాత్మక f* అంటే ఆ భిన్నాన్ని వేయాలి; సున్నా లేదా ప్రతికూలం అంటే పందెం వేయవద్దు. కెల్లీ బెల్ ల్యాబ్స్లో పనిచేశాడు; అతని ‘A new interpretation of information rate’ పత్రం సమస్యను క్లాడ్ షానన్ సమాచార సిద్ధాంతంలో ఉంచింది: న్యాయమైన అవకాశ నిష్పత్తిలో శబ్దమున్న లైన్ ద్వారా సూచనలు పొందే జూదరి, ఆ లైన్ మోసే సమాచార రేటుకన్నా వేగంగా పందెం మూలధనాన్ని పెంచలేడు. 1961లో లియో బ్రైమన్, కెల్లీ పందెం దీర్ఘకాలంలో సారాంశంగా వేరైన ఏ వ్యూహంకన్నా ముందుంటుందని, నిర్ణీత లక్ష్యాన్ని దాదాపు అత్యల్ప సమయంలో చేరుతుందని నిరూపించాడు.
రూలెట్లో కెల్లీ పందెం
ఎరుపుకుపందెంఎరుపు18 ఎరుపు సంఖ్యలపై సమాన-డబ్బు పందెం. ఫ్రెంచ్: రూజ్.పూర్తిగా చదవండి →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. సూటి పందెంపందెంసూటి పందెంఒక్క సంఖ్య, 35:1 చెల్లింపు.పూర్తిగా చదవండి →కు: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. ప్రతి ప్రామాణిక పందెం ప్రతికూల కెల్లీ భిన్నాన్నే ఇస్తుంది, ఎందుకంటే ప్రతి పందెంకీ ప్రతికూల ఆధిక్యం ఉంది; వృద్ధికి అనుకూలమైన పందెం మొత్తం సున్నా. రూలెట్పై కెల్లీ పందెం వేయడం అనేది క్యాసినో-ఆధిక్య పేజీ చెప్పేదానిని అధికారికంగా చెప్పడమే: ప్రతికూల ఆశించిన విలువ గల పందెం పందెం మూలధనాన్ని పెంచే పరిమాణం ఏదీ లేదు.
కెల్లీ ఎక్కడ వర్తించింది
పక్షపాత చక్రం ఆటగాళ్లకు ఆధిక్యమూ, పందెం పరిమాణ సమస్యా ఉన్నాయి. జాగర్, గార్సియా-పెలాయోలు, యూడెమన్లు—అందరూ తమ కొలిచిన ప్రయోజనంపై ఎంత పందెం వేయాలో నిర్ణయించాల్సివచ్చింది; తక్కువ పందెం ఆధిక్యాన్ని వృథా చేస్తుంది, ఎక్కువ పందెం ఆధిక్యం కనిపించేలోపు పూర్తిగా కోల్పోయే ప్రమాదాన్ని పెంచుతుంది. 30లో 1సారి తగిలే ఖానానికిపరికరాలుఖానంరోటర్పై 37 సంఖ్యల గదుల్లో ఒకటి. స్లాట్, కప్ అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి →, కెల్లీ ఆ సంఖ్యపై స్పిన్కు పందెం మూలధనంలో 0.57% చెబుతుంది: $10,000తో స్పిన్కు సుమారు $57; స్పిన్కు సాధారణ వృద్ధి సుమారు 0.054%, 1,000 స్పిన్లలో ×1.7. సగటు లాభం దానికి రెట్టింపు, స్పిన్కు 0.11%; కానీ కెల్లీ కొన్ని అదృష్ట వరుసలు ఉబ్బించిన సగటును కాదు, సాధారణ పందెం మూలధనాన్ని లక్ష్యంగా పెడుతుంది. ఆధిక్య అంచనా అనిశ్చితమైనది కాబట్టి హాఫ్-కెల్లీ సాధారణ ఆచరణాత్మక ఎంపిక.
సాధారణం మరియు సగటు
సాధారణ పందెం మూలధనం, సగటు పందెం మూలధనం మధ్య అంతరం పెద్దది. 25లో 1సారి తగిలే ఖానాను తీసుకోండి; 44% ఆధిక్యం, థార్ప్ తన పరికరానికి ఇచ్చిన సంఖ్య. కెల్లీ పందెం మూలధనంలో 1.26% దానిపై వేస్తుంది. 1,000 స్పిన్ల తర్వాత సాధారణ పందెం మూలధనం సుమారు 11.5 రెట్లు పెరుగుతుంది; కొద్ది అదృష్ట వరుసలు లాగడంతో సగటు మాత్రం సుమారు 249 రెట్లు పెరుగుతుంది. కెల్లీ కంటే ఎక్కువ వేయడం సగటును పెంచి సాధారణ ఫలితాన్ని తగ్గిస్తుంది: కెల్లీ మొత్తానికి రెండింతలు వేస్తే సాధారణ పందెం మూలధనం కేవలం రెట్టింపవుతుంది; కెల్లీ మొత్తానికి రెండున్నర రెట్ల వద్ద అది తగ్గిపోతుంది, అయినా ప్రతి పందెంకీ 44% ఆధిక్యం ఉంటుంది. తక్కువ వేయడంలో నష్టం తక్కువ: సగం పందెం మొత్తంతో సుమారు మూడొంతుల వృద్ధి నిలుస్తుంది.
ఆధిక్యం ఊహ మాత్రమే అయినప్పుడు
కెల్లీ ఆధిక్యం తెలిసినదిగా ఊహిస్తుంది. పందెం పట్టిక వద్ద దానిని అంచనా వేస్తారు; అంచనా సాధారణంగా చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది. థార్ప్ 44%పై ఆధారపడిన ఎప్స్టీన్ ఉదాహరణలో, డబుల్-సున్నాచక్రంసున్నాఏ సమాన-డబ్బు, డజను, కాలమ్ పందెం కప్పని ఒక్క పచ్చ ఖానం; క్యాసినో ఆధిక్యానికి మూలం. సింగిల్ సున్నా, 0 అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → చక్రంలోని ఒక సంఖ్య 1,225 స్పిన్లలో 49సార్లు వచ్చింది: 25లో 1, 44% ఆధిక్యం, 1.26% కెల్లీ పందెం మొత్తం. కానీ న్యాయమైన డబుల్-సున్నా చక్రంలో 38 సంఖ్యలు ఉంటాయి; వాటిలో అత్యధికంగా వచ్చినది 1,225 స్పిన్లలో 49 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చేరడం తొమ్మిదిలో ఒకసారి జరుగుతుంది. ఏ రికార్డులోనైనా అత్యంత రద్దీ సంఖ్యకు అదృష్టం ఎక్కువ సహాయం చేసింది; కాబట్టి నిజంగా పక్షపాత ఖానా కూడా రికార్డులో ఉన్నదానికన్నా మెరుగ్గా కనిపిస్తుంది: విజేత శాపం. ఆ ఖానం నిజానికి పక్షపాతం లేనిదైతే, కెల్లీ పందెం మొత్తం సగటున 5.26% కోల్పోయే పందెమే. సాధారణ సమాధానాలు కెల్లీలో కొంత భాగం మాత్రమే పందెం వేయడం, కొత్త రికార్డులోనూ ఆధిక్యం నిలిచే వరకు లెక్కించడం (చక్ర పక్షపాతాన్ని ఎలా గుర్తించాలో చూడండి).
ఆధిక్యం ఉన్నవారు
ఆధిక్యం తెలుసుకోవడం, దానిని బాగా వినియోగించడం ఒకటి కాదు. హఘాని, డ్యూయీ (2016) 61 మందికి ఒక్కొక్కరికి $25 ఇచ్చి, తల 60%సార్లు వస్తుందని వారికి చెప్పిన నాణెంపై అరగంట పందెం వేయించారు; గెలుపులను $250కి పరిమితం చేశారు (పరిమితిని చేరినప్పుడే ఆటగాళ్లకు తెలిసింది). ప్రతిసారి తలపై పందెం మూలధనంలో 20% వేయమని కెల్లీ చెబుతుంది; 10–20% స్థిర పందేలు సుమారు 95%సార్లు పరిమితిని చేరుతాయని రచయితలు అంచనా వేశారు. ఆటగాళ్లలో కేవలం 21% అక్కడికి చేరారు. 28% పూర్తిగా కోల్పోయారు; 61 మందిలో 18 మంది ఒక్క నాణెం విసురుపై అన్నీ పందెం వేశారు; సుమారు మూడో వంతు మొదలుపెట్టిన $25కన్నా తక్కువతో ముగించారు; సగటు చెల్లింపుడబ్బుచెల్లింపుగెలిచిన పందెం తిరిగి ఇచ్చేది; తిరిగి ఇచ్చే పందెం మొత్తానికి అదనంగా “Xకు 1”గా చెబుతారు.పూర్తిగా చదవండి → $91. 61 మందిలో కేవలం ఐదుగురు కెల్లీ ప్రమాణం గురించి విన్నారు. ఆధిక్యం ఉన్నప్పుడు పందేలు ఎంత వేస్తారో దానిని నిలబెట్టుకుంటారో నిర్ణయిస్తుంది; న్యాయమైన చక్రంలాగా అది లేనప్పుడు ఏ పరిమాణమూ సహాయపడదు.
దానికి బదులుగా ఏమి ఉపయోగించాలి
ఆధిక్యం లేకపోతే పరిమాణ నిర్ణయం వృద్ధి ప్రశ్న కాదు, బడ్జెట్ ప్రశ్న: పందెం మొత్తం = గంటవారీ బడ్జెట్, పందెం పట్టిక వేగం నుంచి తీసుకున్న స్పిన్కు ఖర్చు చేయడానికి మీరు సిద్ధంగా ఉన్న మొత్తం (పందెం మూలధన నిర్వహణ పేజీ). సాధారణ ఆటగాడికి కెల్లీ ఇచ్చే దానం దాని సమాధానం యొక్క స్పష్టత: సున్నా. సున్నా కంటే ఎక్కువ మీరు వేసే ప్రతిదీ మీరు ఎంచుకున్న ఆడే ధర; ఏ సూత్రమూ దానికి ఉత్తమ పరిమాణాన్ని నిర్ణయించదు.
పాక్షిక కెల్లీ మరియు ‘డబ్బు నిర్వహణ’పై గమనిక
పందెం మూలధనంలో ఒక స్థిర శాతాన్ని ప్రతి పందెంకు వేయమని చెప్పే ‘రూలెట్కు కెల్లీ’గా అమ్మే వ్యవస్థలు, తగ్గిపోతున్న పందెం మొత్తంతో స్థిర పందెంవ్యూహంస్థిర పందెంప్రతి స్పిన్కు అదే మొత్తాన్ని పందెం వేయడం. ప్రతి పెరుగుదల క్రమాన్ని దీనితో పోలుస్తారు.పూర్తిగా చదవండి → వేయడమే. అవి మొత్తం పందెం పరిమాణంలోడబ్బుమొత్తం పందెం పరిమాణంగెలుపులను మళ్లీ పందెం వేసినవీ లెక్కించి, సెషన్ లేదా కాలంలో పందెం వేసిన మొత్తం. హ్యాండిల్, యాక్షన్ అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → 2.70% కోల్పోతాయి; ఓడుతున్న కొద్దీ పందెం మొత్తం తగ్గుతుంది కాబట్టి, పూర్తిగా కోల్పోవడాన్ని అసంభావ్యంగా కాక నెమ్మదిగా చేస్తాయి. బడ్జెట్ను ఎక్కువకాలం సాగించడానికి అది సహేతుక మార్గం; కానీ ఆపమని చెప్పే కెల్లీ అది కాదు.
సూత్రం
ప్రశ్నలు
కొలిచిన ఆధిక్యం ఉన్న పక్షపాత చక్రంప్రయోగశాలపక్షపాత చక్రంభౌతిక లోపాల వల్ల కొన్ని ఖానాలు 1/37 కంటే ఎక్కువగా వచ్చే చక్రం. అరుదైనది; వేలాది నమోదైన స్పిన్లతోనే గుర్తించవచ్చు.పూర్తిగా చదవండి → లేదా సమయ పరికరం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే. న్యాయమైన చక్రంపై కాదు.
ఆధిక్య అంచనాలో లోపం ఉంటుంది; తక్కువ పందెం వేయడంకన్నా ఎక్కువ పందెం వేయడం ఖరీదైనది. హాఫ్-కెల్లీ వ్యత్యాసంలోగణితంవ్యత్యాసంఆశించిన విలువ చుట్టూ ఫలితాలు ఎంత విస్తృతంగా వ్యాపిస్తాయో కొలమానం. సూటి పందానికి ఎక్కువ, సమాన-డబ్బు పందాలకు తక్కువ.పూర్తిగా చదవండి → పావు భాగంతో మూడొంతుల వృద్ధిని ఇస్తుంది.
కాదు. ఆధిక్యం ఉన్నప్పుడు కెల్లీ వృద్ధిని అనుకూలం చేస్తుంది. ఆధిక్యం లేనప్పుడు పందెం మూలధన నిర్వహణ ఖర్చును నియంత్రిస్తుంది.
గణితంతో సరదా
ముందుగా వీటిని మీరే ప్రయత్నించండి. ప్రతి పరిష్కారం మడిచి ఉంచబడింది; మీరు సిద్ధమైనప్పుడు తెరవండి.
Thorp మరియు Shannon అంచనా పరికరం సుమారు 44% ఆధిక్యం ఇచ్చింది. అంచనా వేసిన ఒకే సంఖ్యపై, పందెం మూలధనండబ్బుపందెం మూలధనంఆట కోసం కేటాయించిన మొత్తం. పందెం మూలధన నిర్వహణ అంటే ప్రతి పందెం, ప్రతి సెషన్కు ఎంత ప్రమాదంలో పెట్టాలో నిర్ణయించడం.పూర్తిగా చదవండి →లో 1.26% పందెం వేయమని కెల్లీ చెబుతుంది. అదే 44% ఆధిక్యం ఐదు పొరుగు సంఖ్యలపై విస్తరించిన ఒక పందెంపై వస్తే?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం అప్పుడు కెల్లీ పందెం మూలధనంలో 7.1% అంటుంది, పందెం మూలధనం దాదాపు ఆరు రెట్లు వేగంగా పెరుగుతుంది: 1,000 పందేలలో సుమారు 1.25 మిలియన్ రెట్లు, సుమారు 11.5 రెట్లతో పోలిస్తే.
44% ఆధిక్యంతో సూటి పందెంపందెంసూటి పందెంఒక్క సంఖ్య, 35:1 చెల్లింపు.పూర్తిగా చదవండి → 0.04 అవకాశంతో గెలుస్తుంది, ఎందుకంటే 36 × 0.04 = 1.44. కెల్లీ పందెం మొత్తం అంటే ఆధిక్యాన్ని అవకాశ నిష్పత్తితో భాగించడం: 0.44/35 = 1.26%. ప్రతి పందేనికి సాధారణ వృద్ధి 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, కాబట్టి 1,000 పందేలు పందెం మూలధనాన్ని సుమారు e^2.44 ≈ 11.5తో గుణిస్తాయి.
ఒక పందెం మొత్తాన్ని ఐదు సంఖ్యలపై విస్తరిస్తే పందెం 0.20 అవకాశంతో గెలిచి 1కి 36/5 తిరిగి చెల్లిస్తుంది, అంటే 6.2కు 1: ఇంకా 44% ఆధిక్యం, ఎందుకంటే 0.2 × 7.2 = 1.44. కెల్లీ పందెం మొత్తం 0.44/6.2 = 7.10% అవుతుంది, ప్రతి పందేనికి వృద్ధి 0.01404, సుమారు 5.75 రెట్లు ఎక్కువ. 1,000 పందేలలో అది e^14.04, సుమారు 1.25 మిలియన్.
ఆధిక్యం అదే; ఊగిసలాటలు చిన్నవి. ఐదుసార్లలో ఒకసారి గెలిచే పందెం పందెం మూలధనాన్ని పూర్తిగా కోల్పోయే ప్రమాదం లేకుండా పెద్ద వాటాను మోయగలదు, కెల్లీ వృద్ధి దానికి ప్రతిఫలం ఇస్తుంది. అంచనా ఆటగాళ్లు సెక్టార్లపైచక్రంరంగంచక్రంపై వరుసగా ఉన్న ఖానాల వంపు భాగం; లేఅవుట్పై ఉన్న సమూహానికి భిన్నం.పూర్తిగా చదవండి → ఎందుకు పందెం వేస్తారో చూపడానికి Thorp (1984) ఈ ఉదాహరణను వాడతారు. ఆచరణలో ఐదు పొరుగు సంఖ్యలకుపందెంపొరుగుసంఖ్యలుచక్రంపై ఒక సంఖ్య, దాని ఇరువైపుల రెండు ఖానాలు; ఐదు సూటి-పందెం చిప్లు.పూర్తిగా చదవండి → అత్యుత్తమ ఒకే సంఖ్య కంటే కొంచెం తక్కువ ఆధిక్యం ఉంటుంది (రూలెట్ ప్రయోజన ఆట చూడండి).
ఒక ఆటగాడు 37లో 1కి బదులు ఒక్కొక్కటి 25లో 1 సార్లు తగిలే రెండు పొరుగు ఖానాలనుపరికరాలుఖానంరోటర్పై 37 సంఖ్యల గదుల్లో ఒకటి. స్లాట్, కప్ అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → కనుగొన్నాడు. అతను వాటి మధ్య స్ప్లిట్పందెంస్ప్లిట్పక్కపక్కన రెండు సంఖ్యలు, 17:1 చెల్లింపు.పూర్తిగా చదవండి →పై 17కు 1 వద్ద పందెం వేయాలా, లేక ప్రతి సంఖ్యపై సూటి పందెం వేయాలా? కెల్లీ ఎంత చెబుతుంది, అలాంటి ఒక ఖానాతో పోలిస్తే పందెం మూలధనం ఎంత వేగంగా పెరుగుతుంది?
పరిష్కారాన్ని చూపు
సమాధానం ఏ తేడా లేదు: స్ప్లిట్పై పందెం మూలధనంలో 2.59%, లేదా ప్రతి సంఖ్యపై 1.29%. సాధారణ పందెం మూలధనం 1,000 స్పిన్లలో సుమారు 155 రెట్లు పెరుగుతుంది, ఒక ఖానాతో 11.5 రెట్లతో పోలిస్తే.
స్ప్లిట్ 2/25 = 0.08 సంభావ్యతగణితంసంభావ్యతఫలితం వచ్చే అవకాశం, 0 నుంచి 1 లేదా 0% నుంచి 100% వరకు. ఒక సంఖ్య: 1/37 = 2.70%.పూర్తిగా చదవండి →తో గెలిచి 17కు 1 చెల్లిస్తుంది, కాబట్టి పందెం వేసిన ప్రతి యూనిట్డబ్బుయూనిట్విధానం లేదా ఆటగాడు ఉపయోగించే ప్రాథమిక పందెం మొత్తం. పెరుగుదల క్రమాలను యూనిట్లలో వివరిస్తారు కాబట్టి ఏ పట్టికకైనా వర్తిస్తాయి.పూర్తిగా చదవండి →కు 18 × 0.08 = 1.44 తిరిగి ఇస్తుంది: 44% ఆధిక్యం, పక్షపాతం ఉన్న ఒక ఖానాతో సమానం. కెల్లీ పందెం మొత్తం అంటే ఆధిక్యాన్ని అవకాశ నిష్పత్తితో భాగించడం: 0.44/17 = 2.59%.
ఒక్కొక్కటి 1.29% చొప్పున రెండు సూటి పందేలు సరిగ్గా అవే ఫలితాలు ఇస్తాయి. ఏ సంఖ్య వచ్చినా, ఒక చిప్డబ్బుచిప్నిర్ణీత మొత్తాన్ని సూచించే టోకెన్; పందెం వేయడానికి లేఅవుట్పై పెడతారు. చెక్ అని కూడా అంటారు.పూర్తిగా చదవండి → 35కు 1 గెలుస్తుంది, మరొకటి పోతుంది, నికరం పందెం మూలధనంలో 34 × 1.29% = 44%, స్ప్లిట్ చెల్లించినట్లే; ఏదీ రాకపోతే, రెండూ పోతాయి.
ప్రతి స్పిన్కు వృద్ధి 0.00505, ఒక ఖానాకు 0.00244తో పోలిస్తే, కాబట్టి 1,000 స్పిన్లలో సాధారణ పందెం మూలధనం e^2.44 ≈ 11.5 రెట్లు కాకుండా e^5.046 ≈ 155 రెట్లు పెరుగుతుంది. రెండు మంచి సంఖ్యలు ఒకదానికి రెట్టింపు కంటే చాలా ఎక్కువ విలువైనవి, అందుకే పక్షపాత ఆటగాళ్లు సంఖ్యల సమూహాలపై పందెం వేస్తారు. Thorp (1984) ఇదే పోలికను లెక్కిస్తారు.
హాస్య విరామం
వృద్ధికి అనుకూలమైన రూలెట్ పందెం మొత్తం అందరికీ ఇప్పటికే తెలిసిన సంఖ్యే.
మూలాలు
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2వ సంచిక.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2వ సంచిక.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”